Oscillateur amorti soumis à une force impulsionnelle

MP/PC/PSImécaniqueoscillateursrégime transitoirerésonance

Énoncé

On considère un système masse-ressort de masse $m$ , raideur $k$ , soumis à un frottement fluide de coefficient $\alpha$ . À $t=0$ , le système est au repos et reçoit une impulsion : $F(t) = J \delta(t)$ .

Question 1. Établir l'équation différentielle du mouvement pour $t > 0$ .

Question 2. Résoudre dans le régime pseudo-périodique ( $\alpha^2 < 4mk$ ) et tracer $x(t)$ .

Question 3. Calculer l'énergie dissipée totale par le frottement.

Question 4. Comment évoluerait la réponse si l'on imposait un forçage sinusoïdal $F(t) = F_0 \cos(\omega t)$ à la pulsation propre ?

Indications

L'impulsion impose $\dot{x}(0^+) = J/m$ et $x(0^+)=0$ .
Vérifier la cohérence énergétique : énergie dissipée = énergie injectée.
Pour le forçage à la résonance : amplitude limitée par l'amortissement, étudier le facteur de qualité $Q$ .

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