Oscillateur harmonique amorti en régime forcé

PSImécaniqueoscillateur amortirésonancerégime forcéfacteur de qualité

Énoncé

Une masse $m$ est reliée à un ressort de raideur $k$ et soumise à une force de frottement fluide $-\lambda \dot{x}$ et à une excitation sinusoïdale $F(t) = F_0\cos(\omega t)$ . On note $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ et $Q = \tfrac{m\omega_0}{\lambda}$ (facteur de qualité).

Établir l'équation différentielle du mouvement et la mettre sous la forme canonique $\ddot{x} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t).$
Déterminer l'amplitude complexe $\underline{X}$ en régime sinusoïdal forcé.
Établir l'expression de l'amplitude réelle $X(\omega)$ et tracer l'allure de $X(\omega)$ pour $Q < \tfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $Q = \tfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $Q \gg 1$ .
Pour $Q \gg 1$ , déterminer la pulsation de résonance $\omega_r$ et la valeur maximale $X_{\max}$ .
Définir et calculer la bande passante $\Delta\omega$ à $-3$ dB.

Ouverture : comment ce modèle s'applique-t-il à la résonance acoustique d'une cavité ou à un circuit RLC série ?

Indications

Appliquer le PFD à la masse selon $Ox$ .
Passer en notation complexe avec $\underline{x}(t) = \underline{X}\,e^{i\omega t}$ .
L'amplitude est le module de $\underline{X}$ .
La résonance correspond à $\frac{dX^2}{d\omega} = 0$ .

Correctif

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