Étude d'une suite récurrente et convergence vers un point fixe

MPsuites récurrentespoint fixecontractionthéorème de Banachinégalité des accroissements finis

Énoncé

On considère la fonction $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = \frac{1}{2}\left(x + \frac{1}{1+x}\right).$

On définit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ par $u_0 \in [0,1]$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Montrer que $f([0,1]) \subset [0,1]$ .
Étudier les variations de $f$ et déterminer ses points fixes sur $[0,1]$ .
Montrer que pour tout $x \in [0,1]$ , $|f'(x)| \leq \tfrac{1}{2}$ .
En déduire que $(u_n)$ converge et préciser sa limite $\ell$ .
Établir l'inégalité $|u_{n+1} - \ell| \leq \tfrac{1}{2}|u_n - \ell|$ , puis en déduire une majoration de $|u_n - \ell|$ en fonction de $n$ .

Ouverture : que se passerait-il si l'on remplaçait le facteur $\tfrac{1}{2}$ par un réel $\alpha \in ]0,1[$ dans la définition de $f$ ?

Pour la stabilité de $[0,1]$ , étudier la monotonie de $f$ .
Le point fixe vérifie $\ell = \tfrac{1}{2}(\ell + \tfrac{1}{1+\ell})$ , soit une équation polynomiale simple.
L'inégalité des accroissements finis transforme la majoration de $f'$ en contraction.
La convergence est géométrique de raison $\tfrac{1}{2}$ .

Essaie d'abord de chercher, puis dévoile le corrigé.

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