Étude d'une suite récurrente non linéaire

MP/PC/PSIsuitesrécurrenceéquivalentsCesàro

Énoncé

Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $u_0 \in [0,1]$ et $u_{n+1} = u_n(1-u_n)$ .

Question 1. Montrer que la suite $(u_n)$ est bien définie et reste dans $[0,1]$ .

Question 2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire sa convergence.

Question 3. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n \to +\infty$ . Indication : étudier la suite $v_n = 1/u_n$ .

Question 4. Que se passe-t-il si $u_0 \notin [0,1]$ ?

Pour la stabilité : étudier le signe de $x(1-x)$ sur $[0,1]$ .
Pour l'équivalent : poser $v_n = 1/u_n$ , montrer que $v_{n+1} - v_n \to 1$ , conclure par Cesàro.
Piège : la convergence vers 0 est lente (en $1/n$ ), pas géométrique.

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