Diagonalisation d'un endomorphisme et calcul de puissances

MPalgèbre linéairediagonalisationvaleurs propresthéorème spectralmatrices symétriques

Énoncé

Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ .

Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)$ et déterminer les valeurs propres de $A$ .
Pour chaque valeur propre, déterminer une base du sous-espace propre associé.
Justifier que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$ .
En déduire l'expression de $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}$ .
Montrer que $A$ est symétrique réelle et énoncer le théorème spectral correspondant.

Ouverture : que peut-on dire de la suite $(A^n v)_{n \geq 0}$ pour $v \in \mathbb{R}^3$ donné ?

Le polynôme caractéristique se calcule par développement ou en remarquant que $A = 2I + B$ avec $B$ de rang faible.
$A$ symétrique réelle est diagonalisable en base orthonormée.
Pour $A^n$ , utiliser $A^n = P D^n P^{-1}$ .

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