Circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé

PSIélectrocinétiquecircuit RLCrégime sinusoïdalrésonancediagramme de Bode

Énoncé

Un circuit RLC série est alimenté par une source de tension sinusoïdale $e(t) = E_0\cos(\omega t)$ . On note $R$ , $L$ , $C$ les composants et $i(t)$ l'intensité dans le circuit.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $i(t)$ .
Déterminer l'impédance complexe $\underline{Z}$ du circuit. Tracer son diagramme de Bode (gain et phase) pour la grandeur $\underline{H}(\omega) = \underline{U_R}/\underline{E}$ où $U_R$ est la tension aux bornes de $R$ .
Déterminer la pulsation de résonance $\omega_0$ et le facteur de qualité $Q$ .
Calculer la puissance moyenne dissipée par effet Joule et tracer son allure en fonction de $\omega$ .
Application numérique : $R = 10\,\Omega$ , $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1\,\mu\mathrm{F}$ , $E_0 = 5\,\mathrm{V}$ . Calculer $\omega_0$ , $Q$ et la puissance maximale.

Ouverture : analogie avec un oscillateur mécanique amorti ? Application au filtrage et à la radio (sélection d'une station) ?

Indications

Loi des mailles : $e = u_R + u_L + u_C$ .
$\underline{Z} = R + jL\omega + \tfrac{1}{jC\omega}$ .
Résonance quand $\mathrm{Im}(\underline{Z}) = 0$ .
$P = \tfrac{1}{2} R I_0^2$ où $I_0 = E_0 / |\underline{Z}|$ .

Correctif

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