Loi géométrique, espérance et fonction génératrice

Énoncé

On lance une pièce truquée qui tombe sur pile avec probabilité $p \in ]0,1[$. Soit $X$ le rang du premier pile obtenu.

1. Donner la loi de $X$ et justifier que $X$ est presque sûrement finie.
2. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.
3. Définir et calculer la fonction génératrice $G_X(s) = E(s^X)$ pour $|s| < 1/q$ où $q = 1-p$.
4. Soient $X_1, \dots, X_n$ des variables indépendantes de même loi que $X$. Donner la fonction génératrice de $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et en déduire la loi de $S_n$ (loi de Pascal).
5. Montrer la propriété de sans mémoire : $P(X > n+k \mid X > n) = P(X > k)$.

Ouverture : analogie avec la loi exponentielle en temps continu ?