Étude d'une intégrale à paramètre et équivalent à l'infini

MPintégrale à paramètrethéorème de Leibnizéquation différentielleéquivalentsconvergence dominée

Énoncé

On considère, pour $x > 0$ , la fonction $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2}\, dt.$

Montrer que $F$ est bien définie sur $]0, +\infty[$ .
Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]0, +\infty[$ et calculer $F'(x)$ .
Établir que $F$ vérifie l'équation différentielle $F''(x) + F(x) = \frac{1}{x}.$
Déterminer $\lim_{x\to +\infty} F(x)$ et donner un équivalent simple de $F(x)$ quand $x \to +\infty$ .
Étudier la limite de $F(x)$ quand $x \to 0^+$ .

Ouverture : lien avec les fonctions cosinus intégral $\mathrm{Ci}$ et sinus intégral $\mathrm{Si}$ ?

Pour la dérivation sous l'intégrale, vérifier les hypothèses du théorème de Leibniz : domination uniforme.
Pour l'équation différentielle, manipuler $F + F''$ en regroupant les intégrales.
Pour l'équivalent à l'infini, utiliser une intégration par parties ou un développement asymptotique.

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