Endomorphismes nilpotents et réduction

MPalgèbre linéaireréductionnilpotentsDunford

Énoncé

Soit $E$ un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent.

Question 1. Montrer que $u^n = 0$ .

Question 2. Montrer que $\mathrm{Sp}(u) = \{0\}$ et en déduire trace et déterminant de $u$ .

Question 3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure stricte.

Question 4. Soit $v$ commutant avec $u$ . Montrer que $u+v$ est inversible si et seulement si $v$ l'est.

Ouverture : Lien avec la décomposition de Dunford ?

Considérer la suite des noyaux $\ker u^k$ : strictement croissante puis stationnaire.
Pour Q4, écrire $u+v = v(\mathrm{Id} + v^{-1}u)$ avec $v^{-1}u$ nilpotent.
L'ouverture : $f = d + n$ avec $d$ diagonalisable, $n$ nilpotent qui commutent.

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