Intégrale à paramètre et fonction de Gauss

Énoncé

On pose $F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(xt) \, dt$ pour $x \in \mathbb{R}$.

Q1. Justifier que $F$ est définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.

Q2. Montrer que $F$ vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre 1.

Q3. En déduire l'expression explicite de $F(x)$. On admet $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Q4. Étudier $\int_0^{+\infty} e^{-t^2} \sin(xt) \, dt$ et comparer.