Équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre

PCéquations différentiellessecond ordresecond membreproblème de Cauchycomportement asymptotique

Énoncé

On cherche les solutions $y : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de l'équation différentielle $(E) : \quad y'' - 3y' + 2y = e^t \cos t.$

Résoudre l'équation homogène associée $(H) : y'' - 3y' + 2y = 0$ .
Déterminer une solution particulière de $(E)$ en cherchant sous la forme $y_p(t) = e^t(A\cos t + B\sin t)$ .
Donner la solution générale de $(E)$ .
Résoudre le problème de Cauchy $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .
Étudier le comportement asymptotique de cette solution lorsque $t \to +\infty$ .

Ouverture : comment résoudre la même équation avec second membre $e^{(1+i)t}$ et exploiter le principe de superposition ?

Équation caractéristique pour $(H)$ .
La forme proposée pour $y_p$ n'est pas une solution de $(H)$ , donc pas besoin de multiplier par $t$ .
Identifier les coefficients $A$ et $B$ par substitution.
Pour Cauchy, résoudre un système $2 \times 2$ .

Essaie d'abord de chercher, puis dévoile le corrigé.

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