Étude asymptotique d'une fonction par développements limités

PCdéveloppements limitésasymptotiqueétude de fonctionracines carréesparité

Énoncé

On considère $f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Étudier la parité ou les symétries de $f$ .
Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et donner un développement asymptotique de $f(x)$ à l'ordre 3 en $1/x$ quand $x \to +\infty$ .
Donner un développement limité de $f$ à l'ordre 3 en 0.
Étudier les variations de $f$ et tracer l'allure de son graphe (avec asymptotes).
Montrer que $f$ admet exactement un point d'inflexion sur $\mathbb{R}_+$ .

Ouverture : que devient le comportement asymptotique si l'on remplace $\pm x$ par $\pm ax$ avec $a \in \mathbb{R}^*$ ?

$f(-x) = -f(x)$ : $f$ est impaire.
Pour $x \to +\infty$ , factoriser $x$ et utiliser $\sqrt{1+u} = 1 + u/2 - u^2/8 + \ldots$ .
En 0, développer directement chaque racine.
$f$ est $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$ car $x^2 \pm x + 1 > 0$ .

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